אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Transcript

1 אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית וקטורים. אזי כל קבוצה בת יותר מ- n n נפרש על ידי קבוצה בעלת V אם מרחב וקטורי U: Uמשפט וקטורים בהכרח תלויה לינארית. רעיון ההוכחה: מניחים כי קיימת קבוצה בת n איברים הפורשת את המרחב, וקבוצה כלשהיא בעלת m > n איברים. מבטאים כל וקטור בקבוצה על ידי וקטורים בקבוצה הפורשת, ומסתכלים על צירוף לינארי של כל וקטורי הקבוצה הגדולה כתובים באופן זה. בונים מערכת משוואות לינארית, מכיוון ש- m > n יש אינסוף פתרונות למערכת (מסתכלים על מטריצת המקדמים) בפרט פתרון לא טריוויאלי. Uמשפט יהי V מרחב וקטורי נוצר סופית אזי: o קיים בסיס למרחב o כל סדרה בת"ל ב- V ניתן להשלים לבסיס o בכל בסיס של V יש אותו מספר איברים. Uטענה סדרת וקטורים ב- V היא בסיס לכל x V קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הסדרה. (ההוכחה נובעת מפרישה ואי תלות לינארית של הסדרה). Uמשפט כל סדרה סופית פורשת של מרחב וקטורי ניתן לצמצם לבסיס Uמשפט יהי V מ"ו נוצר סופית ו- L V תת מרחב לינארי, אזי מתקיים diml dimv יתרה מזאת.L = V diml = dimv Uמטריצות Uמשפט כפל מטריצות היא פעולה דיסטריבוטיבית מעל חיבור מטריצות, וכן קיימת אסוציאטיביות של כפל מטריצות Uמשפט פעולת ה- transpose מוגדרת על ידי (A t ) ij = (A) ji ומתקיים: (A t ) t = (A) o (A + B) t = A t + B t o (λa) t = λa t o (AB) t = B t A t o Uטענה כל מטריצה ניתן לבטא באמצעות סכום של מטריצה סימטרית ) t A) = A ומטריצה אנטי סימטרית ) t.(a = A. A B Y + BZ AY + BW X = AX במטריצת בלוקים Uכפל C D Z W CX + DZ CY + DW Uמטריצות הפיכות Uמשפט נתונה מערכת משוואות לינארית בת n משוואות ו- n משתנים b.ax = אם A הפיכה אזי קיים למערכת פתרון יחיד והוא A. 1 b Uמשפט תהי A מטריצה ריבועית הפיכה אזי מתקיים: (A t ) 1 = (A 1 ) t הפיכה ו- A t o (AB) 1 = B 1 A הפיכה ומתקיים 1 AB אזי n n מטריצה הפיכה B אם גם o

2 Uהגדרה U: מטריצה אלמנטרית ) n φ(i הינה מטריצה שמתקבלת מהפעלת פעולת אלמנטרית אחת I. n על מטריצת היחידה φ.a לכל φ 1 φ(a) = A מוגדרת כך ש φ פעולה אלמנטרית הופכית 1 Uהגדרה Uמשפט ביצוע פעולה אלמנטרית φ על המטריצה A m n שקולה לכפל משמאל במטריצה אלמנטרית מתאימה:.φ(A) = φ(i m )A Uמשפט כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה. Uלמה כל מטריצה ניתן להציג כמכפלה של מטריצות אלמנטריות במטריצה מדורגת קנונית..B = φ 1 (φ 2 ( (φ k (A) ) מטריצה נדרג אותה קנונית ונקבל A תהי Uמשפט.A 1 = φ 1 (φ 2 ( φ k (I n ).. ) במקרה זה.B = I n הפיכה A Uמשפט U: תהי A מטריצה n n אזי הטענות הבאות שקולות: A o הפיכה. o לכל עמודה b R n למערכת Ax = b קיים פתרון יחיד. o קיימת עמודה b R n כך שלמערכת Ax = b קיים פתרון יחיד..A ~ I n o Uמשפט U: תהי A מטריצה n, n הטענות הבאות שקולות: A o הפיכה (מניחים עמודות בת"ל ומראים שלמערכת = 0 Ax פתרון יחיד). o השורות של A בת"ל (נובע מכך שגם A t הפיכה). o העמודות של A בת"ל (מניחים הפיכות ומשמתמשים בכך של- = 0 Ax קיים פתרון יחיד). B המטריצות (ההפיכות) היחידות אשר מתחלפות עם כל המטריצות (כלומר מטריצה U: Uטענה המקיימת (AB = BA הינן מטריצות סקלריות, כלומר מטריצות מהצורה.λI n Uדרגת המטריצה Uהגדרה U: הדרגה של המטריצה הינו המימד של המרחב הנפרש על ידי שורותיה. Uמשפט אם A n n ו- rk(a) = n אזי: A o הפיכה span{r 1, R 2,.., R n } = R n o.rk(a) = rk(b) אזי A ~ B אם Uמשפט.rk(A t ) = rk(a) Uמשפט UמשפטU : דרגה של מטריצה מדורגת (לאו דווקא קנונית) שווה למספר השורות השונות מ- 0 (מראים שכל השורות של A השונות מ- 0 בת"ל, באינדוקציה). rk(a t ) = rk(a) UמשפטU : rk(ab) min {rk(a), rk(b)} Uמשפט U ת( ( טענה rk(b) rk(a + (B rk(a) + (מראים באמצעות הכלה של מרחב השורות של ו- B ). A באיחוד מרחבי השורות של A + B (0 A). מרחב הפתרונות של המערכת את נסמן ב-( N(A m, n מטריצה A תהי U: Uטענה מתקיים: rk(a).dimn(a) = n (הוכחה: מדרגים, ואז מסבירים שהמימד של מרחב הפתרונות הוא מס' העמודות שאין בהן אחד פותח, והדרגה היא מספר השורות שיש בהן אחדות פותחים). Uדטרמיננטה Uהגדרה לפי תכונות דטרמיננטה היא פונקציה שתחומה (R) M n המקיימת:

3 לינאריות ביחס לכל שורה בחיבור det R 1,, R i + R j,, R n = det(r 1,.., R i,.., R n ) + det (R 1,, R j,, R n ) o לינאריות ביחס לכל שורה בכפל בסקלר: det(r 1,, λr i,.., R n ) = λdet (R 1,, R i,.., R n ).det(a) אם למטריצה יש שתי שורות זהות אזי = 0 o.det(i n ) = 1 o.detφ(a) = det (A) מתקיים φ R i R j עבור פעולה אלמנטרית Uמשפט.detφ(A) = λ det(a) מתקיים φ R i λr i עבור פעולה אלמנטרית Uמשפט.detφ(A) = det(a) מתקיים φ R i R i λr j עבור פעולה אלמנטרית Uמשפט.det(AB) = det(a) det (B) אזי מתקיים: n n מטריצות A, B יהיו Uמשפט.det(A) 0 הפיכה A מטריצה Uמשפט.detA = deta t Uמשפט deta n ( 1) n+j a nj detm nj אינדוקטיביתU : Uהגדרה n 1 1 x 1 x 1 1 x V n = 2 1 x n x 2 n 1 n 1 x n B m n j=1 = (x i x j ) 1 j i n A m m. = det(a) det (C) 0 n m C n n o Uדטרמיננטה של ונדרמונד Uדטרמיננטה במטריצת בלוקים Uדטרמיננטה במטריצת בלוקים משולשית A 1. det = det(a 1 ) det(a 2 ) det(a n ) 0 A n det(a) = sgn(σ) n. כאשר S n קבוצת כל התמורות באורך n a i,σi מפורשת Uנוסחה σ S n i=1.(#s n = n!) rk(a) = k שקול לכך ש: ( דרגה ודטרמיננטה קיים מינור בגודל k k שהדטרמיננטה שלו שונה מאפס. o כל מינור בגודל 1) + (k (k + 1) הדטרמיננטה שלו שווה לאפס. o (adja) ij = ( 1) i+j detm ji (A) (adjoint) מוצמדת Uמטריצה Uהגדרה U ת( A adj(a) = adj(a) A = deta I n Uמשפט. A 1 = 1 deta Uאם מטריצה הפיכה אזי תהי (F) : A M n ( טענה.rk(adjA) = n אזי rk(a) = n אם o.rk(adja) אזי = 0 rk(a) n אם 2 o

4 Uמרחבים וקטוריים מופשטים span של קבוצה: Uהגדרה U: תהי K V תת קבוצה. נגדיר span(k) כאוסף כל הצירופים הליניאריים של איברים מ- K אם.K אם = K אזי {θ}.span(k) = spank V תת מרחב ליניארי spank 1 spank 2 K 1 K 2 אם L V תת מרחב ליניארי אזי spanl = L (תכונת המינימליות של ה- span ) אם K L כאשר L תת מרחב ליניארי, אזי spank L (כלומר spank הינו תת המרחב הליניארי הקטן ביותר אשר מכיל את K) Uסכום מרחבים וסכום ישר: יהיו M 1,, M s V תתי מרחב ליניאריים. נגדיר סכום שלהם על ידי: Uסכום תתי מרחב.M M s = span{m 1 M 2 M s } M M s = {x x s x i M i 1 i s} Uטענה Uמשפט יהי V מרחב וקטורי ו-,M N V תתי מרחב נוצרים סופית, אזי M + N תת מרחב נוצר סופית ומתקיים N).dim(M + N) = dimm + dimn dim(m s Uסכום ישר יהיו M 1,, M s V תתי מרחב ליניאריים הסכום M i נקרא סכום ישר אם לכל i=1 s M 1 M 2 M s נסמן. M i ( j=1,j i M j ) מתקיים 1 i s Uמשפט יהי V מ"ו נוצר סופית ונניח V, = M M s אזי הטענות הבאות שקולות: V = M 1 M 2 M s o.a i M i כך ש- x = a 1 + a a s קיימת הצגה יחידה x V לכל o קיים x V שעבורו ההצגה x = a 1 + a a s כך ש- a i M i היא יחידה. o. 1 i s a i = θ אזי θ = a 1 + a a s אם o (s) E (1) E (2) E בסיס (i) E קבוצת וקטורים שהינה בסיס של M אזי i נסמן ב- o של V. dimv = dimm dimm s o Uקואורדינאטות במרחב וקטורי Uהגדרה יהי e 1,, e n בסיס למרחב וקטורי,V לכל x V קיימת הצגה יחידה.[e] ביחס לבסיס x נקראת הקואורדינאטות של x 1, x 2,, x n הסדרה.x = x 1 e x n e n Uמטריצת מעבר בין בסיסים יהיו ] e],[e] שני בסיסים למרחב וקטורי V אזי כל וקטור בבסיס [e]. ניתן להציג כצירוף ליניארי של איברי הבסיס e] ] מטריצת המעבר C מ-[ e ] ל-[ e] הינה מטריצה אשר בה העמודה ה- i הינה הקואורדינאטות של c 11 c 1n. C = כלומר: [e] ביחס לבסיס e i c n1 c nn

5 מתקיים השוויון.[e 1,, e n ] = [e 1,, e n ]C (המטריצות שבהן הבסיסים הינן מטריצות וקטוריות). Uטענה יהי x V כך ש- x = x 1 e x n e n וגם,x = x 1 e x n e n מתקיים.[e ל-[ היא מטריצת המעבר מ-[ e ] C כאשר = C x n.a אזי = 0 [v 1,, v k ]A = [θ, θ,, θ] מטריצת סקלרים, אם A k p ו v 1,, v k V Uלמה Uטענה U: מטריצת מעבר בין בסיסים תמיד הפיכה. Uטענה U: אם C מטריצת מעבר מ-[ e ] ל-[ e] ו- D מטריצת מעבר מ-[ e] ל-[ e] אזי CD מטריצת מעבר מ-[ e ] ל-[ e]. x 1 x 1 x n Uטרנספורמציות ליניאריות: Uהגדרה יהיו,V W שני מ"ו מעל אותו שדה F. פונקציה :φ V W נקראת טרנספורמציה ליניארית אם היא מקיימת שני תנאים: (x, y V) φ(x + y) = φ(x) + φ(y) o (x V & λ F) φ(λx) = λφ(x) o φ(θ v ) = θ w טרנספורמציה ליניארית, אז בהכרח מתקיים φ תהי Uטענה Uטענה U: הרכבה של טרנספורמציות ליניאריות היא טרנספורמציה ליניארית. Uהגדרה תהי φ: V W ט"ל φ o תיקרא מונומורפיזם אם היא חח"ע. φ o תיקרא אפימורפיזם אם היא על. φ o תיקרא איזומורפיזם אם היא חח"ע ועל. Uטענה U: הרכבה של שני מונומורפיזמים היא מונומורפיזם, הרכבה של שני אפימורפיזמים היא אפימורפיזם והרכבה של שני איזומורפיזמים היא איזומורפיזם. Uטענה U: אם φ איזומורפיזם אזי גם 1 φ הינה איזומורפיזם. Uטענה U: אם פונקציה ט"ל אזי תמונה של סדרה תלויה ליניארית בהכרח תלויה ליניארית. Uטענה U: אם φ מונומורפיזם אזי היא מעבירה סדרה בת"ל לסדרה בת"ל..kerφ = {x V φ(x) = θ w U{ ט"ל אזי הגרעין שלה מוגדר על ידי: :φ V W U: של ט"ל Uגרעין.kerφ = {θ v }U חח"ע φ Uטענה Uטענה φ: V W ט"ל אזי kerφ V תת מרחב. Uטענה U: אם φ ט"ל אזי Imφ W תת מרחב. Uמשפט U: תהי :φ V W ונניח V נוצר סופית, אזי Imφ גם נוצר סופית ומתקיים.dim(kerφ) + dim(imφ) = dimv e k+1,, e n באמצעות V ונשלים את הסדרה לבסיס של kerφ בסיס של e 1,., e k אם Uלמה אזי φ(e k+1 ),, φ(e n ) W בסיס של.Imφ.dimV = dimw אזי φ: V W מ"ו נוצרים סופית, אם קיים איזומורפיזם V, W Uטענה Uמשפט יהיו,V W מ"ו נוצרים סופית מאותו מימד ו- :φ V W ט"ל. הטענות הבאות שקולות: φ o איזומורפיזם φ o חח"ע φ o על :φ. V W אותו שדה) אם קיים איזומורפיזם (מעל W איזומורפי למרחב V נאמר שמ"ו Uהגדרה נסמן.V W

6 dimv = dimw V W Uמשפט Uמטריצה של טרנספורמציה ליניארית:.dimV = n, dimw = m ו- F מ"ו נוצרים סופית מעל V, W יהיו Uהגדרה נקבע בסיסים [e] ב- V ו-[ ξ ] ב- W. תהי :φ V W ט"ל, אזי נגדיר A m n מטריצה של הטרנספורמציה ביחס לבסיסים [e] ו- [ξ] בצורה הבאה: העמודה ה- j של המטריצה מוגדרת כעמודת הקואורדינאטות של הוקטור ) j φ(e על פי הבסיס ξ.(c j = φ e j (כלומר ξ ו- W V (של [ξ] ו- [e] לפי הבסיסים :φ V W מטריצה של הטרנספורמציה A אם U: Uמשפט x 1 בהתאמה) ו- x V כך ש [x] e = אזי מתקיים: x n x 1 y 1 A[x] e : = A = = [φ(x)] ξ x n y n Uמסקנה מהמשפט U: טרנספורמציות ליניאריות מאופיינות באופן יחיד על ידי המטריצה שלהן מעבר מ-[ e ] מטריצת ו- C W, בסיסים של ξ] ל-[ מטריצת מעבר מ-[ ξ ] B :φ, V W U Uמשפט: ל-[ e] בסיסים של V. אם A מטריצה של φ ביחס ל-[ ξ ],[e] ו- A מטריצה של φ ביחס ל-[ ξ] e],[ אזי מתקיים:.A = B 1 AC Uמרחב הטרנספורמציות הליניאריות יהיו,V W מ"ו מעל אותו שדה נסמן map},l(v, W) = {φ: V W φ is a linear אם פעולות של כפל בסקלר וחיבור ט"ל זהו מרחב וקטורי. Uמשפט נסמן dimv = n, dimw = m אזי הפונקציה (F) T: L(V, W) Mat m n המוגדרת על ידי T(φ) = A φ הינה ט"ל ואיזומורפיזם של מרחבים וקטוריים. diml(v, W) = m n מהמשפט Uמסקנה Uהמרחב הדואלי Uהגדרה יהי V מרחב וקטורי מעל שדה, F המרחב הדואלי ל- V המסומן V הינו קבוצת כל הטרנספורמציות הלינאריות מ- V ל- F. האיברים של המרחב הדואלי נקראים פונקציונליים לינאריים. הערה: אם V נוצר סופית אזי מתקיים dimv = dimv ) n φ (F הוא מהצורה של φ = φ עבור a F n כלשהוא. יתר על כן a הוא a Uטענה כל יחיד. קווים להוכחה: מראים יחידות על ידי הנחת φ a = φ b והפעלת שתי הפונקציונליים על הבסיס הסטנדרטי, מקבלים a. = b מראים קיום על ידי הגדרת ) i a i = φ(e והצבת וקטור כללי בפונקציונל. בסיס ל- V. e 1, e 2,., e n ויהי F מ"ו ממימד סופי מעל שדה V הדואלי יהי Uהבסיס V ε ε i (כלומר לכל i n 1 נגדיר בצורה הבאה: i (v) = ε i j x j e j x i הקואורדינטה ה- i של הוקטור על פי הבסיס [e]). Uטענה הקבוצה ε 1, ε 2,., ε n מהווה בסיס ל-.V ועבור כל פונקציונל ב- V מתקיים:

7 U.φ = φ(e 1 )ε 1 + φ(e 2 )ε φ(e n )ε n (מוכיחים באמצעות זה שמראים שהקבוצה בת"ל). Uשיטה למציאת בסיס דואלי אם b 1,, b n בסיס ל- V ו- ε 1,, ε n הבסיס הדואלי מתקיים: ε 1 b 1 b n = I n ε n Uהמאפס יהי V מ"ו מעל שדה F ו- S V תת קבוצה, אזי המרחב המאפס של S הינו: 0} = φ(s) S 0,S 0 = {φ V s S הינו תת מרחב של המרחב הדואלי. S S 1 S 1 S 2 Uטענה ( α S α ) 0 = (S 0 α ) מתקיים: V של {S α } לכל משפחה של תתי קבוצות Uטענה α (spans) 0 = S 0 Uטענה Uמשפט V U: מרחב וקטורי ממימד סופי ו- M תת מרחב של V אזיי מתקיים:.dimV = dimm + dimm 0 רעיון ההוכחה: בוחרים e 1,, e m בסיס ל- M ומשלימים לבסיס ל- V עם.e m+1,, e n מסתכלים על הבסיס הדואלי ל-[ e ] ומוכיחים ש- ε 1+m,., ε n בסיס ל- M 0 (מראים קודם שייכות לקבוצה ואז פרישה) מכך נובע השיוויון המבוקש. Uלמה (הוכח במסגרת ההוכחה של המשפט dimv = dimm + dimm 0 בכיתה, ייתכן שצריך להוכיח לבד במבחן): M V תת מרחב ו- e 1,., e m בסיס ל- M, e m+1,.., e n השלמה לבסיס של.V נסמן ב- [ϵ] את הבסיס הדואלי ל-[ e ], אזי ε m+1,., ε n בסיס ל-.M 0 V T תת קבוצה, תת מרחב אפסים T הינו : 0 Uתת מרחב אפסים U: תהי.T 0 = {x V t T t(x) = 0} Uטענה T 0 V U: הינו תת מרחב לינארי..(T 2 ) 0 (T 1 ) 0 T 1 T 2 Uטענה.( α T α ) 0 = ( α (T α ) 0 Uטענה יהי V נוצר סופית ו- V N תת מרחב לינארי, אזי מתקיים: (C: V V UמשפטU : dimn 0 + dimn = dimv (הוכחה באמצעות האיזומורפיזם הקנוני.(M 0 ) 0 = M תת מרחב אזי M V אם Uמשפט.(N 0 ) 0 = N תת מרחב אזי N V Uמשפט (S 0 ) 0 = spans תת קבוצה, אזי S V שניתנה כתרגיל Uטענה.(T תת קבוצה, אזי T V 0 ) 0 Uטענה שניתנה כתרגיל Uמרחב דואלי שני: V. = V) ) מ"ו אזי מרחב דואלי שני הינו V יהי Uהגדרה קיים איזומורפיזם קנוני טבעי V :C V אשר מוגדר באופן הבא: x V [C(x): V F, ξ V C(x)(ξ) = ξ(x)] T V 0 ) = T 0 תת קבוצה אזי T C(T וגם (נשים לב ש- V 0 Uטענה יהי V מ"ו נוצר סופית ו- ש- V T 0 כלומר כל הפונקציונאלים ב- V אשר מתאפסים על כל הפונקציונאלים ב- T ). Uהוכחה: o t T C(x)(t) = 0- מתקיים ש x T כלומר לכל,C(T 0 ) T 0 0 שלב א - אבל נשים לב שמתקיים t(x) C(x)(t) = וגם t T & x T 0 לכן על פי הגדרת תת מרחב האפסים = 0.t(x) שלב ב- ) 0.T 0 C(T יהי α T 0 נסמן,x = C 1 (α) V לכן מתקיים C(x).α =

8 נוכיח t T C(x)(t) = α(t) = 0 t T t(x) = 0 x T 0 :x T 0, α T 0 0 ולכן על פי הגדרת המרחב המאפס = 0 α(t) ולכן x T כנדרש & t T Uמרחב מכפלה פנימית Uהגדרה U: מרחב מכפלה פנימית הינו מ"ו V מעל R עם פונקציה :< V V R,> שמקיימת את התכונות הבאות: < λ 1 x 1 + λ 2 x 2, y > = λ 1 < x 1, y 1 + λ 2 < x 2, y > ביחס לכל משתנה Uליניאריות o (באופן דומה מתקיים עבור y) < x, y > = < y, x > Uסימטריה o x V < x, x > 0 & < x, x > = 0 x = θ Uחיובית o Uהגדרה U: מרחב אוקלידי זהו מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי.. x = Uנורמה (אורך) מוגדרת כ-< >,x x Uמשפט U: תכונות של נורמה: λx = λ x o x = θ x = 0 o o אי שוויון המשולש y x, + y x + יתרה מכך השוויון מתקבל אם ורק אם x y Uאי שוויון קושי שוורץ x y >,,x y < השוויון מתקבל אם ורק אם x ו- y פרופורציוניים. (מהמשפט נובע גם x y < x, y > וכאן מתקבל שוויון.x = λy &λ > 0 x, y = arccos <x,y> Uזווית בין וקטורים U: הזווית בין שני וקטורים מוגדרת כ- x y Uמשפט ריס יהי V מרחב אוקלידי, אזי כל פונקציונל ליניארי על V הוא מהצורה > a φ a (x) < x, כאשר a V מוגדר באופן יחיד. יתרה מזאת פונקציה V V אשר מוגדרת a φ a היא איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים. Uאורתוגנאליות.< x, y > נקראים אורתוגונאליים אם = 0 x, y VU וקטורים Uהגדרה Uסדרה אורתוגונאלית x 1,, x s V U: נקראת סדרה אורתוגונאלית אם הוקטורים מאונכים זה לזה כלומר = 0 > j. i j < x i, x Uסדרה אורתונורמלית U: סדרת וקטורים נקראת אורתונורמלית אם היא אורתוגונאלית וגם הנורמה של כל וקטור היא,1 כלומר מתקיים < x i, x j > = δ ij Uטענה U: אם סדרה של וקטורים שונים מ- θ אורתוגונאלית אזי היא בלתי תלויה ליניארית. x V x = n < x, ξ i > ξ i בסיס אורתונורמלי אזי ξ 1, ξ n V יהי Uטענה i=1 Uמשפט קיום הבסיס האורתונורמלי בכל מרחב אוקלידי קיים בסיס אורתונורמלי. Uמשלים אורתוגונאלי יהי V מרחב אוקלידי ו- V M תת מרחב. נגדיר משלים אורתוגונאלי של M = {x V < x, y > = 0 y באופן הבא:{ M M M M = V תת מרחב ליניארי מתקיים M V אם Uמשפט.C t C = I n נקראת אורתוגונאלית אם C n n מטריצה ממשית אורתוגונאלית Uמטריצה Uמשפט יהי [e] בסיס אורתונורמלי ב- V ו-[ ξ ] בסיס כלשהו ב- V אזי הבסיס [ξ] הינו אורתונורמלי מטריצת המעבר בין הבסיסים היא אורתוגונאלית. Uטענה כפל של שתי מטריצות אורתוגונאליות הוא מטריצה אורתוגונאלית. Uתכונות מטריצה אורתוגנאלית

9 R n אם C מטריצה אורתוגנאלית אזי = ±1 det(c) R n 1,, R n במרחב האוקלידי הסטנדרטי אזי R בסיס אורתונורמלי של אם נתבונן ב- בנוסף גם C 1,, C n בסיס אורתונורמאלי ב- R n (כי גם C t אורתוגנאלית). o o o Uטרנספורמציות במרחבים אוקלידים: Uהגדרה יהיו,V W מרחבים אוקלידים, ט"ל :T V W נקראת איזומורפיזם של מרחבים אוקלידים אם T איזומורפיזם וגם x, y V < x, y > V = < Tx, Ty > W Uמשפט יהיו V, W מרחבים אוקלידים ו- dimw T: V W,dimV = ט"ל, אזי: x V x V = Tx W איזומורפיזם של מרחבים אוקלידים T Uמשפט,V W U: מרחבים אוקלידים ו- W :T V ט"ל מתקיים: o אם T איזומורפיזם של מרחבים אוקלידים אזי המטריצה של T ביחס לכל זוג של בסיסים אורתונורמלים היא אורתוגונאלית. o אם [ξ],[e] בסיסים אורתונרמאליים של,V W בהתאמה והמטריצה של T ביחס ל- [ξ],[e] אורתוגונאלית אזי T איזומורפיזם של מרחבים אוקלידים. איזומורפיזם של מרחבים אוקלידים, נאמר ש- T :T V V U: אורתוגונאלית Uטרנספורמציה טרנספורמציה אורתוגונאלית. Uדטרמיננטה של ט"ל :φ V V U: ט"ל, נבחר בסיס כלשהו ל- V. תהי A מטריצה של φ ביחס לבסיס הזה, נגדיר.detφ deta Uטענה detφ U: אינה תלויה בבחירת הבסיס ולכן מוגדרת היטב. detφ = ±1 טרנספורמציה אורתוגונאלית φ: V V Uמסקנה T: R 2 כל טרנספורמציה אורתוגונאלית R 2 R 2 של טרנספורמציות אורתוגונאליות R 2 Uמיון היא או סיבוב בזווית מסוימת או שיקף ביחס לציר מסוים. Uמטריצת סיבוב בזווית cosθ sinθ θ (ביחס לבסיס הסטנדרטי, נגד כיוון השעון) sinθ cosθ θ.e cosθ sinθ הציר בזווית ביחס לווקטור הבסיס 1 Uמטריצת שיקוף ביחס לציר: sinθ cosθ 2